線形代数例

$[\begin{array}{c} 6 & 2 \\ 5 & 7 \end{array}]$

ステップ 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

ステップ 2

Find the determinant.

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ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$6 \cdot 7 - 5 \cdot 2$

ステップ 2.2

行列式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$6$ に $7$ をかけます。

$42 - 5 \cdot 2$

ステップ 2.2.1.2

$- 5$ に $2$ をかけます。

$42 - 10$

ステップ 2.2.2

$42$ から $10$ を引きます。

$32$

ステップ 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{32} [\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ - 5 & 6 \end{array}]$

ステップ 5

$\frac{1}{32}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{32} \cdot 7 & \frac{1}{32} \cdot - 2 \\ \frac{1}{32} \cdot - 5 & \frac{1}{32} \cdot 6 \end{array}]$

ステップ 6

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{32}$ と $7$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{32} & \frac{1}{32} \cdot - 2 \\ \frac{1}{32} \cdot - 5 & \frac{1}{32} \cdot 6 \end{array}]$

ステップ 6.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$2$ を $32$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{32} & \frac{1}{2 (16)} \cdot - 2 \\ \frac{1}{32} \cdot - 5 & \frac{1}{32} \cdot 6 \end{array}]$

ステップ 6.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{32} & \frac{1}{2 \cdot 16} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{1}{32} \cdot - 5 & \frac{1}{32} \cdot 6 \end{array}]$

ステップ 6.2.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{32} & \frac{1}{2 \cdot 16} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{1}{32} \cdot - 5 & \frac{1}{32} \cdot 6 \end{array}]$

ステップ 6.2.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{32} & \frac{1}{16} \cdot - 1 \\ \frac{1}{32} \cdot - 5 & \frac{1}{32} \cdot 6 \end{array}]$

ステップ 6.3

$\frac{1}{16}$ と $- 1$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{32} & \frac{- 1}{16} \\ \frac{1}{32} \cdot - 5 & \frac{1}{32} \cdot 6 \end{array}]$

ステップ 6.4

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{32} & - \frac{1}{16} \\ \frac{1}{32} \cdot - 5 & \frac{1}{32} \cdot 6 \end{array}]$

ステップ 6.5

$\frac{1}{32}$ と $- 5$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{32} & - \frac{1}{16} \\ \frac{- 5}{32} & \frac{1}{32} \cdot 6 \end{array}]$

ステップ 6.6

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{32} & - \frac{1}{16} \\ - \frac{5}{32} & \frac{1}{32} \cdot 6 \end{array}]$

ステップ 6.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.7.1

$2$ を $32$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{32} & - \frac{1}{16} \\ - \frac{5}{32} & \frac{1}{2 (16)} \cdot 6 \end{array}]$

ステップ 6.7.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{32} & - \frac{1}{16} \\ - \frac{5}{32} & \frac{1}{2 \cdot 16} \cdot (2 \cdot 3) \end{array}]$

ステップ 6.7.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{32} & - \frac{1}{16} \\ - \frac{5}{32} & \frac{1}{2 \cdot 16} \cdot (2 \cdot 3) \end{array}]$

ステップ 6.7.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{32} & - \frac{1}{16} \\ - \frac{5}{32} & \frac{1}{16} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 6.8

$\frac{1}{16}$ と $3$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{32} & - \frac{1}{16} \\ - \frac{5}{32} & \frac{3}{16} \end{array}]$

線形代数 例

線形代数例